Propiedades de la matriz invertible (Demostración)

por **rauloko** el Lun Abr 12, 2010 6:31 pm

MATRICES INVERTIBLES. PROPIEDADES.

Una matriz A es invertible o regular, si tiene inversa respecto al producto de matrices. Es decir: A es invertible si existe su inversa A^-1 y por tanto: AA^-1 = A^-1A = I.

Propiedades

1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n tales que: AB=I, entonces B=A^-1 y A=B^-1.

Dem. Multiplicando en AB=I por A^-1 y aplicando la propiedad asociativa se tiene que: A^-1(AB)=A^-1 (A^-1A)B=A^-1 B=A^-1.

Análogamente: (AB)B1=B^-1 A(BB^-1)=B^-1 A=B^-1.

2. (A^-1)^-1 = A. Dem. Evidente.

3. (AB)^-1 = B^-1A^-1.

Dem.
Por la propiedad asociativa:
(B^-1A^-1)(AB)=B^-1(A^-1A)B=BB^-1=I.
(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AA^-1=I.
Se concluye que:
(AB)^-1 = B^-1A^-1.

4. (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

Dem.
Como AA^-1=I, tomando traspuestas resulta que: (A^-1)^TA^T=I^T. (por otro lado (AB)^T=B^TA^T)
luego, por la primera propiedad (A^-1)^T=(A^T)^-1.

Le recomiendo este PDF para resumir todo el material de algebra lineal

http://www.monografias.com/trabajos-pdf2/algebra-lineal-contexto/algebra-lineal-contexto.pdf

Bueno espero que le sirve....

Si tiene alguna duda no dudes en comentar