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Propiedades de la matriz invertible (Demostración)

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Propiedades de la matriz invertible (Demostración)

Mensaje por rauloko el Lun Abr 12, 2010 6:31 pm

MATRICES INVERTIBLES. PROPIEDADES.

Una matriz A es invertible o regular, si tiene inversa respecto al producto de matrices. Es decir: A es invertible si existe su inversa A-1 y por tanto: AA-1 = A-1A = I.

Propiedades

1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n tales que: AB=I, entonces B=A-1 y A=B-1.

Dem. Multiplicando en AB=I por A-1 y aplicando la propiedad asociativa se tiene que: A-1(AB)=A-1 (A-1A)B=A-1 B=A-1.

Análogamente: (AB)B1=B-1 A(BB-1)=B-1 A=B-1.

2. (A-1)-1 = A. Dem. Evidente.

3. (AB)-1 = B-1A-1.

Dem.
Por la propiedad asociativa:
(B-1A-1)(AB)=B-1(A-1A)B=BB-1=I.
(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AA-1=I.
Se concluye que:
(AB)-1 = B-1A-1.

4. (AT)-1 = (A-1)T.

Dem.
Como AA-1=I, tomando traspuestas resulta que: (A-1)TAT=IT. (por otro lado (AB)T=BTAT)
luego, por la primera propiedad (A-1)T=(AT)-1.


Le recomiendo este PDF para resumir todo el material de algebra lineal

http://www.monografias.com/trabajos-pdf2/algebra-lineal-contexto/algebra-lineal-contexto.pdf

Bueno espero que le sirve....

Si tiene alguna duda no dudes en comentar
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rauloko
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